Que paga a conta quando ninguem quer ser sindico

Em sistema de rodizio para cargo do sindico, já estipulado em convenção, quando chega a vez daquele morador ser o sindico e ele nao quer ser e eu sei que nao posso impor, no caso de ter que contratar um sindico profissional ou adminsitradora, eu posso obrigar aquele condomino que se recusou a arcar com a despesa da administradora ou sindico profissional sozinho??? Ex. são 12 moradores, 10 aceitam o sistema de rodizio e vão ser e 2 moradores nao aceitam e dizem que quando for a vez deles irão contratar um sindico profissional, os outros 10 que foram não acham justo pagar o sindico ou adminsitradora para aquele que nao quer ser. O que posso fazer? Tem como o condominio obrigar ele pagar sozinho? Qual lei fala sobre isso?